Question

【题目】如图，A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．

（1）求证：PA+PB＝PC；

（2）若BC＝，点P是劣弧AB上一动点（异于A、B），PA、PB是关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的两根，求m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）m的最大值为4．

【解析】

（1）在PC上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝CD，即可证得；

（2）根据一元二次方程的根解答即可．

证明：（1）在PC上截取PD＝AP，如图，

又∵∠APC＝60°，

∴△APD是等边三角形，

∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．

又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，

∴∠ADC＝∠APB，

在△APB和△ADC中，

，

∴△APB≌△ADC（AAS），

∴BP＝CD，

又∵PD＝AP，

∴CP＝BP+AP

（2）由（1）可知PA+PB＝PC，

∵PA、PB是方程的两根，

∴PA+PB＝m，

要使m有最大值，则PA+PB最大，即PC为⊙O的直径，连BO并延长交⊙O于点M，连接CM，

则∠BCM＝90°，

∴BMC＝∠BPC＝60°，

∵BC＝2，

∴BG＝4，

∴m的最大值为4．