Question

【题目】设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个实数根x1 ， x2 ．
（1）若x12+x22=2，求m的值；
（2）代数式 + 有无最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意得△=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）≥0，解得m≤1，

∵m是不小于﹣1的实数

∴﹣1≤m≤1，

x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，

∵x12+x22=2，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=2，

∴4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）=2，

整理得m2﹣5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），

∴m的值为1

（2）解：代数式有最大值．理由如下：

+ =m =m =m =﹣2m+2，

∴﹣1≤m≤1且m≠0，m≠1，

∴当m=﹣1时，代数式的值最大，最大值为4

【解析】（1）根据方程有两个实数根知△=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）≥0，解得m≤1，又m是不小于﹣1的实数，从而得出m的取值范围﹣1≤m≤1，将方程x12+x22=2变形为（x1+x2）2﹣2x1x2=2，根据根与系数之间的关系得x1+x2=-2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，整体代入得出一个关于m的方程求解得出解得m1=1，m2=4（舍去），从而得出m的值；
（2）代数式有最大值．理由如下：将代数式通分合并，整体代入化简得出原式=﹣2m+2，又﹣1≤m≤1且m≠0，m≠1，故当m=﹣1时，代数式的值最大，最大值为4
【考点精析】认真审题，首先需要了解因式分解法(已知未知先分离，因式分解是其次．调整系数等互反，和差积套恒等式．完全平方等常数，间接配方显优势)，还要掌握求根公式(根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根)的相关知识才是答题的关键．