Question

【题目】如图：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC边上的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：

①AE=CF；②EF=AP；③2S四边形AEPF=S△ABC；④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合）有BE+CF=EF；上述结论中始终正确的序号有__________．

Answer 1

【答案】①③

【解析】

根据题意，容易证明△AEP≌△CFP，然后能推理得到①③都是正确．

∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，

∴∠EAP=∠BAC=45°，AP=BC=CP．

①在△AEP与△CFP中，

∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，

∴△AEP≌△CFP，

∴AE=CF．正确；

②只有当F在AC中点时EF=AP，故不能得出EF=AP，错误；

③∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE．

∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC，即2S四边形AEPF=S△ABC；正确；

④根据等腰直角三角形的性质，EF=PE，

所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF=PE=AP，在其它位置时EF≠AP，故④错误；

故答案为：①③．