Question

【题目】如图，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合（点P不与点C，D重合），折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，连接MB，MP，BP，BP与MN相交于点F．

（1）求证：△BFN∽△BCP；

（2）①在图2中，作出经过M，D，P三点的⊙O（要求保留作图痕迹，不写做法）；

②设AB=4，随着点P在CD上的运动，若①中的⊙O恰好与BM，BC同时相切，求此时DP的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①作图见解析；②3．

【解析】

试题分析：（1）根据折叠的性质可知，MN垂直平分线段BP，即∠BFN=90°，由矩形的性质可得出∠C=90°=∠BFN，结合公共角∠FBN=∠CBP，即可证出△BFN∽△BCP；

（2）①在图2中，作MD、DP的垂直平分线，交于点O，以OD为半径作圆即可；

②设⊙O与BC的交点为E，连接OB、OE，由△MDP为直角三角形，可得出AP为⊙O的直径，根据BM与⊙O相切，可得出MP⊥BM，进而可得出△BMP为等腰直角三角形，根据同角的余角相等可得出∠PMD=∠MBA，结合∠A=∠PMD=90°、BM=MP，即可证出△ABM≌△DMP（AAS），根据全等三角形的性质可得出DM=AB=4、DP=AM，设DP=2a，根据勾股定理结合半径为直径的一半，即可得出关于a的方程，解之即可得出a值，再将a代入OP=2a中求出DP的长度．

试题解析：（1）证明：∵将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合，∴MN垂直平分线段BP，∴∠BFN=90°．

∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°．

∵∠FBN=∠CBP，∴△BFN∽△BCP．

（2）解：①在图2中，作MD、DP的垂直平分线，交于点O，以OD为半径作圆即可．如图所示．

②设⊙O与BC的交点为E，连接OB、OE，如图3所示．

∵△MDP为直角三角形，∴AP为⊙O的直径，∵BM与⊙O相切，∴MP⊥BM．

∵MB=MP，∴△BMP为等腰直角三角形．

∵∠AMB+∠PMD=180°﹣∠AMP=90°，∠MBA+∠AMB=90°，∴∠PMD=∠MBA．

在△ABM和△DMP中，∵∠MBA=∠PMD，∠A=∠PMD=90°，BM=MP，∴△ABM≌△DMP（AAS），∴DM=AB=4，DP=AM．

设DP=2a，则AM=2a，OE=4﹣a，BM= =．

∵BM=MP=2OE，∴=2×（4﹣a），解得：a=，∴DP=2a=3．