Question

【题目】我们定义：如图1、图2、图3，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”.图1、图2、图3中的均是的“旋补三角形”.

（1）①如图2，当为等边三角形时，“旋补中线”与的数量关系为：______；

②如图3，当，时，则“旋补中线”长为______.

（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想“旋补中线”与的数量关系，并给予证明.

Answer 1

【答案】（1）①；②4；（2）结论：，理由详见解析.

【解析】

（1）①首先证明△ADB'是含有30°的直角三角形，可得AD=AB'即可解决问题；
②首先证明△BAC≌△B'AC'，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可解决问题；

（2）结论：AD=BC．如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接B'M，C'M，首先证明四边形AC'MB'是平行四边形，再证明△BAC≌△AB'M，即可解决问题；

（1）①如图2中，

∵是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

故答案为.

②如图3中，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

故答案为4.

（2）结论：.

理由：如图1中，延长到，使得，连接，，

∵，，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∵，，

∴，∵，

∴，

∴，

∴.