Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点、、抛物线过A、C两点．

直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

动点P从点A出发沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒过点P作交AC于点E．

过点E作于点F，交抛物线于点当t为何值时，线段EG最长？

连接在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得是等腰三角形？请直接写出相应的t值．

Answer 1

【答案】 A的坐标为，抛物线的解析式为：；当时，线段EG最长为2；．

【解析】分析：（1）由于四边形ABCD为矩形，所以A点与D点纵坐标相同，A点与B点横坐标相同；

（2）①根据相似三角形的性质求出点E的横坐标表达式即为点G的横作标表达式．代入二次函数解析式，求出纵标表达式，将线段最值问题转化为二次函数最值问题解答．

②若构成等腰三角形，则三条边中有两条边相等即可，于是可分EQ=QC，EC=CQ，EQ=EC三种情况讨论．若有两种情况时间相同，则三边长度相同，为等腰三角形．

详解：（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，所以点A的坐标为（4，8）．

将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx得，解得：a=﹣，b=4． 故抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x；

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==，即=，∴PE=AP=t．PB=8﹣t，∴点E的坐标为（4+t，8﹣t），∴点G的纵坐标为：﹣（4+t）2+4（4+t）=﹣t2+8，∴EG=﹣t2+8﹣（8﹣t）=﹣t2+t．

∵﹣＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2．

②共有三个时刻．

（i）当EQ=QC时，因为Q（8，t），E（4+t，8﹣t），QC=t，所以根据两点间距离公式，得：（t﹣4）2+（8﹣2t）2=t2．

整理得：13t2﹣144t+320=0，解得：t=或t==8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）．

（ii）当EC=CQ时，因为E（4+t，8﹣t），C（8，0），QC=t，所以根据两点间距离公式，得：

（4+t﹣8）2+（8﹣t）2=t2．

整理得：t2﹣80t+320=0，t=40﹣16，t=40+16＞8（此时Q不在矩形的边上，舍去）．

（iii）当EQ=EC时，因为Q（8，t），E（4+t，8﹣t），C（8，0），所以根据两点间距离公式，得：（t﹣4）2+（8﹣2t）2=（4+/span>t﹣8）2+（8﹣t）2，解得：t=0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t=．

于是t1=，t2=，t3=40﹣16．