Question

【题目】问题发现

如图和均为等边三角形，点在同一直线上，连接BE．

填空：

的度数为______；

线段之间的数量关系为______．

拓展探究

如图和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．

解决问题

如图3，在正方形ABCD中，，若点P满足，且，请直接写出点A到BP的距离．

Answer 1

【答案】；；，理由见解析； 点A到BP的距离为或．

【解析】分析：（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．

（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE．

（3）由PD=1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD=90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题．

详解：（1）①如图1．∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∵，

∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC=∠BEC．

∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．

∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．

故答案为：60°．

②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．

故答案为：AD=BE．

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：如图2．∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∵，

∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．

∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．

∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．

（3）点A到BP的距离为或．

理由如下：

∵PD=1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．

∵∠BPD=90°，∴点P在以BD为直径的圆上，∴点P是这两圆的交点．

①当点P在如图3①所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．

∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°，∴BD=2．

∵DP=1，∴BP=．

∵∠BPD=∠BAD=90°，∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，∴∠APB=∠ADB=45°，∴△PAE是等腰直角三角形．

又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD，∴=2AH+1，∴AH=．

②当点P在如图3②所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．

同理可得：BP=2AH﹣PD，∴=2AH﹣1，∴AH=．

综上所述：点A到BP的距离为或．