Question

【题目】已知二次函数y=a(x+1)(x－m) (a为常数，a1)的图像过点（1，2）.

（1）当a=2时，求m的值；

（2）试说明方程a(x+1)(x－m)＝0两根之间（不包括两根）存在唯一整数，并求出这个整数；

（3）设M（n，y1）、N（n+1，y2）是抛物线上两点，当n <－1时，试比较y1与y2的大小.

Answer 1

【答案】（1）m=；（2）两根之间存在唯一整数，这个整数是0；（3）当n<－1时，y1>y2

【解析】

（1）把点（1，2）、a＝2，代入二次函数解析即可求出m值；

（2）先求出方程a(x+1)(x－m)＝0的两根x1=－1，x2=m，再将点（1，2）代入函数解析式，得出m=1－，利用a1即可求出m的取值范围，进而得出答案；

（3）利用二次函数的性质即可比较出y1与y2的大小.

（1）a=2时，y=2(x+1)(x－m)，

将（1，2）代入得2＝4(1－m)，

解得m=；

（2）由方程a(x+1)(x－m)＝0解得x1=－1，x2=m，

又y=a(x+1)(x－m)过点（1，2），

则2＝2a(1－m)，

解得m=1－，

∵a>1，

∴0<<1，

∴0<m<1

即0< x2<1，

∴两根之间存在唯一整数，这个整数是0；

（3）∵方程两根是－1，1－且抛物线开口向上，由二次函数图像与性质知，

n<－1时，M点纵坐标y1>0，

①当－2≤n<－1时，－1≤n+1<0，

∴y2<0，

此时y1>y2

②当n<－2时，n+1<－1，

此时M、N两点均在－1左侧，

由抛物线图像与性质知，y随x增大而减小，

∴y1>y2，

综上，当n<－1时，y1>y2 .