Question

【题目】如图，A(－2，2）、AB⊥x轴于点B，AD⊥y轴于点D，C（－2，1）为AB的中点，直线CD交x轴于点F．

（1）求直线CD的函数关系式；

（2）过点C作CE⊥DF且交x轴于点E，求证：∠ADC＝∠EDC；

（3）求点E坐标；

（4）点P是直线CE上的一个动点，求PB＋PF的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y=x+2；（2）证明见解析；（3）E（，0）；（4）PB+PF的最小值为.

【解析】

（1）由题意先求出D的坐标，再利用待定系数法可求得直线CD的函数关系式；

（2）可先证明△ADC≌△BFC，利用全等三角形的性质得CF=CD，∠BFC=∠ADC，从而可证明DE=EF，最后利用等边对等角及等量代换即可证明∠ADC=∠EDC；

（3）利用直线CD的函数关系式可求出点F坐标，从而得到OF=4，设OE=x，则EF=DE=4－x，最后在Rt△DOE中利用勾股定理建立方程即可求出OE得到点E坐标；

（4）由（2）可知点D与F关于直线CE对称，连接BD交直线CE于点P，则可知P点即为满足条件的动点，由勾股定理可求得BD的长，即PB+PF的最小值．

解：（1）∵A(－2，2），AD⊥y轴于点D，

∴D(0，2)，

设直线CD解析式为y=kx+b(k≠0)，把点D(0，2)，C(－2，1)，代入得：，

解得，

∴直线CD的函数关系式为y=x+2；

（2）∵C是AB的中点，

∴AC=BC，

∵AD⊥y轴于点D，

∴AD∥x轴，

∵AB⊥x轴于点B，

∴∠A=∠CBF=90°，

在△ACD和△BCF中，，

∴△ACD≌△BCF(ASA)，

∴CF=CD，∠BFC=∠ADC，

∵CE⊥DF，

∴CE垂直平分DF，

∴DE=FE，

∴∠EDC=∠EFC，

∴∠ADC=∠EDC；

（3）∵直线CD的函数关系式为y=x+2，

∴把y=0代入得0=x+2，解得x=－4，

∴F（－4，0），

∴OF=4，

∵D（0，2），

∴OD=2，

设OE=x，则EF=DE=4－x，

在Rt△DOE中，，解得x=，即OE=，

∴E（，0）；

（4）如图，连接BD交直线CE于点P，

由（2）可知点D与点F关于直线CE对称，

∴PD=PF，

∴PB+PF=PB+PD≥BD，

∵A(－2，2），AB⊥x轴于点B，

∴B(－2，0)，

∴BD=，

∴PB+PF的最小值为.