Question

【题目】如图1，直角三角形ABC中，∠C＝90°，CB＝1，∠BAC＝30°．

(1）求AB、AC的长；

(2）如图2，将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，将AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD．

①连接CE，BD．求证：BD＝EC；

②连接DE交AB于F，请你作出符合题意的图形并求出DE的长

Answer 1

【答案】（1）AB=2，AC=；（2）①证明见解析；②图形见解析，DE=.

【解析】

（1）根据含30°角的直角三角形的性质求出AB，再利用勾股定理求出AC即可；

（2）①根据旋转的性质得到AB=AE，AC=AD，∠BAE=∠CAD=60°，再利用SAS证明△AEC≌△ABD，从而可得到结论；

②过点D作DM⊥AE，交EA的延长线于点M，可证明∠CAE=90°，从而求得∠DAM=30°，在Rt△ADM中利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求出DM、AM，最后在Rt△DME中利用勾股定理求出DE即可.

解：（1）∵∠C=90°，∠BAC=30°，且BC=1，

∴AB=2BC=2,

∴在Rt△ABC中，AC=;

（2）①证明：如图所示：

由旋转可得，AB=AE=2，AC=AD=，∠BAE=∠CAD=60°，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，

∴∠CAE=∠BAD，

∴△AEC≌△ABD（SAS），

∴BD=EC；

②如图所示，过点D作DM⊥AE，交EA的延长线于点M，

由旋转可得，AB=AE=2，AC=AD=，∠BAE=∠CAD=60°，

∵∠BAC=30°，

∴∠CAE=∠BAE+∠BAC=90°，

∴∠CAM=90°，

∴∠DAM=30°，

∴在Rt△ADM中，DM=AD=，AM=，

∴EM=AE+AM=2+=，

∴在Rt△DME中，DE=.