Question

【题目】如图所示，I是△ABC三内角平分线的交点，IE⊥BC于E，AI延长线交BC于D，CI的延长线交AB于F，下列结论：①∠BIE=∠CID；②S△ABC=IE（AB+BC+AC）；③BE=（AB+BC﹣AC）；④AC=AF+DC．其中正确的结论是_____．

Answer 1

【答案】①②③．

【解析】①∵I为△ABC三条角平分线的交点，IE⊥BC于E，

∴∠ABI=∠IBD，

∵∠DIC=∠DAC+∠ACI=（∠BAC+∠ACB），∠ABI=∠ABC，

∴∠CID+∠ABI=90°，

∵IE⊥BC于E，

∴∠BIE+∠IBE=90°，

∵∠ABI=∠IBE，

∴∠BIE=∠CID；

即①成立；

②∵I是△ABC三内角平分线的交点，

∴点I到△ABC三边的距离相等，

∴S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△ACI=ABIE+BCIE+ACIE=IE（AB+BC+AC），

即②成立；

③如图，过I作IH⊥AB于H，IG⊥AC于G，

∵I是△ABC三内角平分线的交点，

∴IE=IH=IG，

在Rt△AHI与Rt△AGI中，

，

∴Rt△AHT≌Rt△AGI（HL），

∴AH=AG，同理BE=BH，CE=CG，

∴BE+BH=AB+BC﹣AH﹣CE=AB+BC﹣AC，

∴BE=（AB+BC﹣AC）；

即③成立；

④由③证得IH=IE，

∵∠FHI=∠IED=90°，

∴△IHF与△DEI不一定全等，

∴HF不一定等于DE，

∴AC=AG+CG=AH+CE≠AF+CD，

即④错误．

故答案为：①②③．