Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．

（1）若∠BDA＝115°，则∠BAD＝　 °，∠DEC＝　 °；

（2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE；

（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）25，115；（2）详见解析；（3）当∠BDA＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．

【解析】

（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出∠BAD，根据平角为180°以及三角形内角和为180°即可算出∠DEC的度数；
（2）由条件可得∠EDC＝∠DAB，∠B＝∠C，DC＝AB，根据ASA即可证明结论；
（3）若△ADE是等腰三角形，分为三种情况：①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA＝DE时，求出∠DAE＝∠DEA＝70°，求出∠BAC的度数，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA＝ED时，求出∠DAC，求出∠BAD的度数，根据三角形的内角和定理求出∠BDA的度数．

（1）解：∵∠BDA＝115°，∠B＝40°，

∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；

∵AB＝AC，∠B＝40°，

∴∠C＝40°．

∵∠BDA+∠ADE+∠EDC＝180°，∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，

∴∠EDC＝180°﹣115°﹣40°＝25°．

∵∠EDC+∠C+∠DEC＝180°，

∴∠DEC＝180°﹣25°﹣40°＝115°．

故答案为：25，115．

（2）证明：∵∠EDC+∠EDA+∠ADB＝180°，∠DAB+∠B+∠ADB＝180°，∠B＝∠EDA＝40°，

∴∠EDC＝∠DAB．

∵∠B＝∠C，DC＝AB，

∴△ABD≌△DCE（ASA）；

（3）解：∠BDA＝80° 或∠BDA＝110°．

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝40°，

①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，

∵∠AED＞∠C，

∴此时不符合；

②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，

∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，

∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；

∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；

③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，

∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，

∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；

∴当∠BDA＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．