Question

【题目】如图，在扇形AOB中，OA、OB是半径，且OA＝4，∠AOB＝120°．点P是弧AB上的一个动点，连接AP、BP，分别作OC⊥PA，OD⊥PB，垂足分别为C、D，连接CD．

（1）如图①，在点P的移动过程中，线段CD的长是否会发生变化？若不发生变化，请求出线段CD的长；若会发生变化，请说明理由；

（2）如图②，若点M、N为的三等分点，点I为△DOC的外心．当点P从点M运动到N点时，点I所经过的路径长为__________．（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析:(1)先连接AB,因为CD是△PAB的中位线,所以CD=因为AB长度不变,即CD长度不变,根据OA＝4,∠AOB＝120°,利用解直角三角形的方法求出AB,再根据中位线的性质即可求出CD,

(2)因为CD是△PAB的中位线,根据中位线的性质CD∥AB,因为点I是△DOC的外心,所以点I在CD的垂直平分线上,然后求出点I运动路线是以O为圆心,OI为半径,圆心角60°所对的弧长,利用弧长公式求解.

试题解析:∵OA＝OB,OH⊥AB,

∴AH＝BH＝AB,∠AOH＝∠AOB＝60°,

在Rt△AOH中,

∵∠OAH＝30°,

∴OH＝＝2,

∴在Rt△AOH,由勾股定理得AH＝＝,

∴AB＝,

∴CD＝,

（2）.