Question

【题目】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2﹣2ax+与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为C，直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．

（1）如图1，求抛物线的顶点坐标；

（2）如图2，点P为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，设点P的横坐标为t，点Q的横坐标为m，求m与t的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，如图3，连接AP，过点C作CE⊥AP于点E，连接BE、CE分别交PQ于F、G两点，当点F是PG中点时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）C（1，2）；（2）m=﹣t2+t+；（3）P（，﹣）

【解析】试题分析：（1）先由抛物线解析式确定出对称轴，再用中点坐标确定出点A的坐标，代入抛物线解析式确定出抛物线解析式，化为顶点式即可得出顶点坐标；

（2）由（1）的条件，确定出直线AC解析式，由PQ⊥AC，确定出点P的坐标，消去y即可；

（3）先判断出△ACE∽△APQ，再判断出∠ACB＝90°，从而得到Rt△BCD≌Rt△BED，判断出BD∥AP，进而确定出AP解析式，联立直线AP和抛物线的解析式确定出点P坐标．

试题解析：

（1）解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax＋，

∴抛物线对称轴为x＝﹣＝1，

∵抛物线的顶点为C，

∴点C的横坐标为1，

设点A（n，0）

∵直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．

∴＝0，

∴n＝﹣1，

∴A（﹣1，0），

∵点A在抛物线y＝ax2﹣2ax＋上，

∴a＋2a＋ ＝0，

∴a＝﹣ ，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋x＋（x﹣1）2＋2，

∴抛物线的顶点坐标C（1，2）

（2）解：由（1）有，抛物线解析式为y＝﹣x2＋x＋ ，

∵抛物线与x轴交于A、B两点，A（－1，0），抛物线对称轴为x＝1，

∴B（3，0），

∵直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．且A（﹣1，0），C（1，2），

∴D（0，1），

∵A（﹣1，0），C（1，2），

∴直线AC解析式为y＝x＋1，

∵PQ⊥AC，

∴设直线PQ解析式为y＝﹣x＋b，

∵设点P（t，﹣t2＋t＋），

∴直线PQ解析式为y＝﹣x﹣t2＋2t＋，

∵点Q在直线AC上，且点Q的横坐标为m，

∴ ，

∴m＝﹣t2＋t＋；

（3）解：如图，

连接DE，BD，BC，

∵CE⊥AP，

∴∠ACE＋∠CAE＝90°，

∵PQ⊥AC，

∴∠APQ＋∠CAE＝90°，

∴∠ACE＝∠APQ，

∵∠CAE＝∠CAE

∴△ACE∽△APQ，

∴∠APQ＝∠ACE，

∵∠AEC＝90°，

∴DE＝AD＝CD，

∴∠ACE＝∠DEC，

∵∠CEP＝90°，

∴EF＝QF＝PF，

∴∠APQ＝∠PEF，

∴∠PEF＝∠APQ＝∠ACE＝∠CED，

∴∠CED＋∠BEC＝∠PEF＋∠BEC＝∠PEC＝90°，

∵点A（﹣1，0），D（0，1），

∴OA＝OD，

∴∠BAC＝45°

∵点A，B是抛物线与x轴的交点，点C是抛物线的顶点，

∴AC＝BC，

∴∠ABC＝∠BAC＝45°，

∴∠ACB＝90°

在Rt△BCD和Rt△BED中，

DE＝DC，BD＝BD ，

∴Rt△BCD≌Rt△BED，

∴∠BDC＝∠BDE，

∵DE＝DC，

∴BD⊥CE，

∵AP⊥CE，

∴AP∥BD，

∵B（3，0），D（0，1），

∴直线BD解析式为y＝－x＋1，

∵A（﹣1，0），

∴直线AP解析式为y＝﹣x﹣，

联立抛物线和直线AP解析式得， ，

∴ ， （舍）

∴P（，﹣）．