Question

【题目】如图，矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，F为BE上一点，连接DF，过F作FG⊥DF交BC于点G，连接BD交FG于点H，若FD=FG，BF=3 ，BG=4，则GH的长为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：解法一：如右图，过点F作BC的垂线，分别交BC、AD于点M、N，则MN⊥AD，延长GF交AD于点Q，如图所示．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，AD∥BC，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC=45°，

∴△MBF是等腰直角三角形，

∵BF=3 ，

∴BM=FM=3，

∵BG=4，

∴MG=1，

∵FD⊥FG，

∴∠DFG=90°，

∴∠DFN+∠MFG=90°，

∵∠DNF=90°，

∴∠NDF+∠DFN=90°，

∴∠NDF=∠MFG，

在DNF和△FMG中，

，

∴△DNF≌△FMG（AAS），

∴DN=FM=3，NF=MG=1，

由勾股定理得：FG=FD= ，

∵QN∥BC，

∴ = ，

∴ = ，

∴FQ= ，QN= ，

设GH=x，则FH= ﹣x，

∵QD∥BG，

∴ ，

∴ ，

x= ，

即GH= ．

解法二：如右图，过F作FN⊥BC于N，过B作BM⊥FG于M，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，AD∥BC，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC=45°，

∴△NBF是等腰直角三角形，

∵BF=3 ，

∴BN=FN=3，

∵BG=4，

∴NG=1，

在Rt△FNG中，由勾股定理得：DF=FG= = ，

∵S△BFG= BGFN= FGBM，

∴4×3= BM，

∴BM= ，

∴GM= = = ，

∴FM=GF﹣GM= ﹣ = ，

∵DF∥BM，

∴△DFH∽△BMH，

∴ ，

∴ = ，

∴HM= ，

∴GH=HM+GM= + = ；

所以答案是： ．

【考点精析】本题主要考查了三角形的面积和矩形的性质的相关知识点，需要掌握三角形的面积=1/2×底×高；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等才能正确解答此题．