Question

【题目】四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交直线AE于点O．
（1）若点O在四边形ABCD的内部，
如图1，若AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，则∠DOE=°；

（2）如图2，试探索∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．

（3）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请你直接写出∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系．

Answer 1

【答案】
（1）125
（2）

解：（1）∠B+∠C+2∠DOE=360°，

理由：∵∠DOE=∠OAD+∠ADO，

∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，

∴2∠DOE=∠BAD+∠ADC，

∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°，

∴∠B+∠C+2∠DOE=360°

（3）

解：∠B+∠C=2∠DOE，

理由：∵∠BAD+∠ADC=360°﹣∠B﹣∠C，∠EAD+∠ADO=180°﹣∠DOE，

∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，

∴∠BAD=2∠EAD，∠ADC=2∠ADO，

∴∠BAD+∠ADC=2（∠EAD+∠ADO），

∴360°﹣∠B﹣∠C=2（180°﹣∠DOE），

∴∠B+∠C=2∠DOE

【解析】解：（1）∵AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，
∴∠BAD=140°，∠ADC=110°，
∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，
∴∠BAE=70°，∠ODC=55°，
∴∠AEC=110°，
∴∠DOE=360°﹣110°﹣70°﹣55°=125°；
所以答案是：125；
【考点精析】认真审题，首先需要了解平行线的性质(两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补)，还要掌握多边形内角与外角(多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）180°.多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°)的相关知识才是答题的关键．