Question

【题目】在△PQN中，若∠P＝∠Q＋α（0°＜α≤25°），则称△PQN为“差角三角形”,且∠P是 ∠Q的“差角”.

（1）已知△ABC是等边三角形，判断△ABC是否为“差角三角形”，并说明理由；

（2）在△ABC中，∠C＝90°，50°≤∠B≤70°，判断△ABC是否为“差角三角形”，若是，请写出所有的“差角”并说明理由；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）不是，理由见详解；（2）是，当35°≤∠A≤40°时，△ABC为“差角三角形”， 且∠A是∠B的“差角”； 当50°≤∠B≤70°时，△ABC为“差角三角形”， 且∠B是∠C的“差角”.

【解析】

(1)根据差角定义即可判断；

(2)根据∠B的度数范围求出∠A的度数范围，再分别讨论两个角之间是“差角”时的取值范围，如果符合取值范围即是“差角”，否则即不是.

（1）△ABC不是“差角三角形”，理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=60，

∴∠A=∠B+30，

∵,

∴△ABC不是“差角三角形”；

(2)∵∠C＝90°，

∴∠A+∠B=90°，

∵50°≤∠B≤70°,

∴20°≤∠A≤40°,

①∠B是 ∠A的“差角”时，∠B＝∠A＋α，

∵，

∴1045，

不满足题意，舍去；

②∠A是∠B的“差角”时，∠A＝∠B＋α，

∵，

∴2560，

∵20°≤∠A≤40°,

∴25°≤∠A≤40°,

当∠A＝∠B时，∠A＝35°，

∴当35°≤∠A≤40°时，△ABC为“差角三角形”， 且∠A是∠B的“差角”.

③∠C是∠B的“差角”时，∠C＝∠B＋α，，

∴25，不满足题意，舍去；

④∠B是 ∠C的“差角”时，∠B＝∠C＋α，，

∴45

∴当50°≤∠B≤70°时，△ABC为“差角三角形”， 且∠B是∠C的“差角”.

⑤∠A是∠C的“差角”时，∠A＝∠C＋α，，

∴45，不满足题意，舍去；

⑥∠C是∠A的“差角”时，∠C=∠A＋α，,

∴10，不满足题意，舍去；

综上，当35°≤∠A≤40°时，△ABC为“差角三角形”， 且∠A是∠B的“差角”； 当50°≤∠B≤70°时，△ABC为“差角三角形”， 且∠B是∠C的“差角”.