Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD.设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为（ ）

A. B. C. 4＋6 D. 4－6

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：如图所示，根据题意画出图形，并作矩形OGEF，先证Rt△AOB≌Rt△BEA，再证△BEF是含有30°角的三角形，从而求出BF与EF的长，最后在Rt△AGE中利用勾股定理建立含t的方程，解方程即可得出答案.

详解：当点B运动到如图所示的位置时，⊙A与边BD所在直线相切，切点为E，

作EF⊥x轴，垂足为F，作EG⊥y轴，垂足为G，可得矩形OGEF，

在Rt△AOB与Rt△BEA中，

∴Rt△AOB≌Rt△BEA，

∴BE=AO=2,

∵△BCD是等边三角形，

∴∠DBC=60°，

∴∠FBE=∠DBC=60°，

∵∠BFE=90°，

∴∠BEF=30°，

∴BF=，EF=3，

∴GE=t－，AG=2+3，

在Rt△AGE中，由勾股定理得，

AG2+GE2=AE2，

即，

解得，.

故选C.