Question

【题目】如图，四边形ABCD与四边形CEFG是两个正方形，边长分别为a，b，其中B，C，E在一条直线上，G在线段CD上，三角形AGE的面积为S.

(1)①当a=5，b=3时，求S的值；

②当a=7，b=3时，求S的值；

(2)从以上结果中，请你猜想S与a，b中的哪个量有关？用字母a，b表示S，并对你的猜想进行证明.

Answer 1

【答案】（1）①4.5；②4.5；（2）S=b2，证明见解析

【解析】

（1）①根据S△AEG=S正方形ABCD＋S正方形ECGF－S△ABE－S△ADG－S△EFG，即可得出答案；②方法同①；

（2）结论S=b2，根据S△AEG=S正方形ABCD＋S正方形ECGF－S△ABE－S△ADG－S△EFG即可证明.

（1）①∵四边形ABCD与四边形CEFG是两个正方形，AB=5，EC=3，

∴DG=CD－CG=5－3=2．

∴S△AEG=S正方形ABCD＋S正方形ECGF－S△ABE－S△ADG－S△EFG

=25＋9－×8×5－×5×2－×3×3=4.5．

②∵四边形ABCD与四边形CEFG是两个正方形，AB=7，EC=3，

∴DG=CD－CG=7－3=4．

∴S△AEG=S正方形ABCD＋S正方形ECGF－S△ABE－S△ADG－S△EFG

=49＋9－×10×7－×7×4－×3×3=4.5

（2）结论S=b2．

证明：∵S△AEG=S正方形ABCD＋S正方形ECGF－S△ABE－S△ADG－S△EFG

=a2＋b2－（a＋b）a－a（a－b）－b2

=a2＋b2－a2－ab－a2＋ab－b2

=b2，

∴S=b2．