Question

【题目】平行四边形ABCD两邻边的长m，n是关于x的方程的两个实数根．

（1）求k的取值范围．

（2）当k为何值时，四边形ABCD的两条对角线的长相等，且都等于，求出这时四边形ABCD的周长和面积．

Answer 1

【答案】（1）k的取值范围是k＞；（2）四边形ABCD的周长是4，面积是．

【解析】

（1）根据题意求出△=b2-4ac=（-k）2-4×1×（）≥0，m+n=k＞0，mn=＞0，求出不等式组的解集即可；

（2）得出四边形是矩形，根据勾股定理和根与系数的关系求出k，求出方程的解，即可求出矩形的周长和面积．

（1）∵平行四边形ABCD的两邻边的长m，n是关于x的方程x2kx+＝0的两个实数根，

∴△=b2-4ac=（-k）2-4×1×（）≥0，m+n=k＞0，mn=＞0，

（k-1）2≥0，k＞0，k＞，

即k的取值范围是k＞；

（2）∵四边形是平行四边形，且四边形的对角线相等，

∴四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

由勾股定理得：m2+n2=（）2，

即（m+n）2-2mn=，

∵m+n=k，mn=，

∴k2-2（）=，

k1=2，k2=-1（因为由（1）得出k＞，所以此时的值舍去），

把k=2代入方程得：x2-2x+=0，

解方程得：m=，n=或n=，m=，

∴矩形ABCD的周长是2×（+）=4，面积是×=．

即此时四边形ABCD的周长是4，面积是．