【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分c1与经过点A、D、B的抛物线的一部分c2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣ ），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．

参考答案：

【答案】(1) A（﹣1，0），B（3，0）；(2)存在，P（）;(3) m=﹣1或﹣.

【解析】试题分析：（1）将化为交点式，即可得到两点的坐标；
（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到面积的最大值；
（3）先表示出再分两种情况：①时；

②时，讨论即可求得的值．

试题解析：(1)

∵m≠0，

∴当y=0时,

∴A(1,0),B(3,0)；

(2)设，将A. B.C三点的坐标代入得：

解得

故

如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，

由B.C的坐标可得直线BC的解析式为：

设 则

当时,有最大值,

(3)

顶点M坐标(1,4m)，

当x=0时，y=3m，

∴D(0,3m),B(3,0)，

当△BDM为Rt△时有：或

时有：

解得m=1(∵m<0,∴m=1舍去)；

时有：

解得 (舍去).

综上,m=1或时，为直角三角形.

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