Question

【题目】如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=2 ，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）设AE=x，四边形DEFG的面积为S，求出S与x的函数关系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图，作EM⊥BC，EN⊥CD

∴∠MEN=90°，

∵点E是正方形ABCD对角线上的点，

∴EM=EN，

∵∠DEF=90°，

∴∠DEN=∠MEF，

在△DEM和△FEM中，

，

∴△DEM≌△FEM，

∴EF=DE，

∵四边形DEFG是矩形，

∴矩形DEFG是正方形；

（2）

解：CE+CG的值是定值，定值为4，

∵正方形DEFG和正方形ABCD，

∴DE=DG，AD=DC，

∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°，

∴∠CDG=∠ADE，

∴△ADE≌△CDG，

∴AE=CG．

∴CE+CG=CE+AE=AC= AB= ×2 =4，

（3）

解：如图，

∵正方形ABCD中，AB=2 ，

∴AC=4，

过点E作EM⊥AD，

∴∠DAE=45°，

∵AE=x，

∴AM=EM= x，

在Rt△DME中，DM=AD﹣AM=2 ﹣ x，EM= x，

根据勾股定理得，DE2=DM2+EM2=（2 ﹣ x）2+（ x）2=x2﹣4x+8，

∵四边形DEFG为正方形，

∴S=S正方形DEFG=DE2=x2﹣4x+8．

【解析】（1）作出辅助线，得到EN=EM，然后判断∠DEN=∠FEM，得到△DEM≌△FEM，则有DE=EF即可；（2）同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG=AE，即：CE+CG=CE+AE=AC=4；（3）由正方形的性质得到∠DAE=45°，表示出AM=EM，再表示出DM，再用勾股定理求出DE2 ．
【考点精析】关于本题考查的正方形的判定方法，需要了解先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等；先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角才能得出正确答案．