Question

【题目】已知：正方形纸片ABCD的边长为4，将该正方形纸片沿EF折叠（E，F分别在AB，CD边上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P．

（1）如图①，连接PE，若M是AD边的中点．
①写出图中与△PMD相似的三角形．
②求△PMD的周长．
（2）如图②，随着落点M在AD边上移动（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①依据翻折的性质可知∠EMP=∠B=90°，∠C=∠N=90°

∴∠AME+∠PMD=90°．

又∵∠AME+∠AEM=90°，

∴∠AEM=∠PMD．

又∵∠A=∠D，

∴△AME∽△DPM．

∵∠MPD=∠FPN，∠D=∠N=90°

∴△MPD∽△FPN．

∵△AME∽△DPM，

∴ ．

又∵AM=MD，

∴ ．

又∵∠EMP=∠D=90°，

∴△EMP∽△MDP．

所以有：△AME∽△DPM，△AME∽△DPM，△EMP∽△MDP．

②∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB=4．

∵点M是AD边中点，

∴AM=DM=2．

由折叠的性质得：ME=BE，

∴△MEA的周长为6．

在Rt△MEA中，设AE=x，则ME=4﹣x．

∴x2+22=（4﹣x）2，解得：x= ．

∵△PMD∽△MEA，

∴ = = ，即 ．

∴△PMD的周长为8

（2）

解：△PMD的周长不变．

设AM=m，AE=n，则DM=4﹣m，EM=4﹣n，△AEM的周长=4+m．

在Rt△AME中，依据勾股定理可知：m2+n2=（4﹣n）2，即8n=16﹣m2．

∵△PMD∽△MEA，

∴ = ．

∴△PMD的周长= = = =8

【解析】（1）①依据两组角对应相等的三角形相似可证明△AEM∽△DMP，△PFN∽△PMD，然后依据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明△EMP∽△MDP即可；②设AE=x，则EM=4﹣x，在Rt△AEM中，依据勾股定理可求得x的值，然后可求得△AEM的周长，然后依据相似三角形的周长比等于相似比求解即可；（2）设AM=m，AE=n，则DM=4﹣m，EM=4﹣n．在Rt△AEM中，依据勾股定理和完全平方公式可得到8n=16﹣m2 ， 然后可△PMD∽△MEA可求得△PMD的周长．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用翻折变换（折叠问题）和相似三角形的应用的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等；测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．