Question

【题目】已知C为线段AB中点，∠ACM＝α．Q为线段BC上一动点（不与点B重合），点P在射线CM上，连接PA，PQ，记BQ＝kCP．

（1）若α＝60°，k＝1，

①如图1，当Q为BC中点时，求∠PAC的度数；

②直接写出PA、PQ的数量关系；

（2）如图2，当α＝45°时．探究是否存在常数k，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②PA=PQ．（2）存在，使得②中的结论成立．

【解析】

（1）①如图1，作辅助线，构建等边三角形，证明△ADC为等边三角形．根据等边三角形三线合一可得∠PAC＝∠PAD＝30°；

②根据①中得结论：∠PAC＝∠PQC＝30°，则PA＝PQ；

（2）存在k=，如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△PAD≌△PQC（SAS）．可得结论．

解：（1）①如图1，在CM上取点D，使得CD＝CA，连接AD，

∵∠ACM＝60°，

∴△ADC为等边三角形．

∴∠DAC＝60°．

∵C为AB的中点，Q为BC的中点，

∴AC＝BC＝2BQ．

∵BQ＝CP，

∴AC＝BC＝CD＝2CP．

∴AP平分∠DAC．

∴∠PAC＝∠PAD＝30°．

②∵△ADC是等边三角形，

∴∠ACP＝60°，

∵PC＝CQ，

∴∠PQC＝∠CPQ＝30°，

∴∠PAC＝∠PQC＝30°，

∴PA＝PQ；

（2）存在，使得②中的结论成立．

证明：过点P作PC的垂线交AC于点D．

∵∠ACM＝45°，

∴∠PDC＝∠PCD＝45°．

∴PC＝PD，∠PDA＝∠PCQ＝135°．

∵，，

∴CD＝BQ．

∵AC＝BC，

∴AD＝CQ．

∴△PAD≌△PQC（SAS）．

∴PA＝PQ．