Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，点O是斜边AB上一定点，到点O的距离等于OB的所有点组成图形W，图形W与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，∠AED=∠B．

（1）判断图形W与AE所在直线的公共点个数，并证明．

（2）若，，求OB．

Answer 1

【答案】（1）有一个公共点，证明见解析；（2）．

【解析】

（1）先根据题意作出图形W，再作辅助线,连接OE，证明AE是圆O的切线即可；

（2）先利用解直角三角形的知识求出CE=1，从而求出BE=3．再由AC∥DE 得出，把各线段的长代入即可求出OB的值.

（1）判断有一个公共点

证明：连接OE，如图．

∵ BD是⊙O的直径，

∴ ∠DEB=90°．

∵ OE=OB，

∴ ∠OEB=∠B．

又∵∠AED=∠B，

∴ ∠AED=∠OEB．

∴ ∠AEO =∠AED+∠DEO

=∠OEB +∠DEO

=∠DEB=90°．

∴ AE是⊙O的切线．

∴图形W与AE所在直线有1个公共点．

（2）解：∵ ∠C = 90°，，，

∴ AC=2，．

∵ ∠DEB=90°，

∴ AC∥DE．

∴ ∠CA E=∠AED=B ．

在Rt△ACE中，∠C = 90°，AC=2，

∴ CE=1．

∴ BE=3．

∵AC∥DE

∴．

∴，

∴．