Question

【题目】如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．

（1）求∠PCQ的度数；

（2）当AB=4，AP：PC=1：3时，求PQ的大小；

（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A重合），请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）2；（3）2PB2=PA2+PC2．

【解析】

（1）由于∠PCB=∠BCQ=45°，故有∠PCQ=90°．

（2）由等腰直角三角形的性质知，AC=4，根据已知条件，可求得AP，PC的值，再由勾股定理求得PQ的值．

（3）由于△PBQ也是等腰直角三角形，故有PQ2=2PB2=PA2+PC2．

（1）由题意知，△ABP≌△CQB，

∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45°，∠ABP=∠CPQ，AP=CQ，PB=BQ，

∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°，∠ABP+∠PBC=∠CPQ+∠PBC=90°，

∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形．

（2）当AB=4，AP：PC=1：3时，有AC=4，AP=，PC=3，

∴PQ==2．

（3）存在2PB2=PA2+PC2，由于△BPQ是等腰直角三角形，

∴PQ=PB．

∵AP=CQ，∴PQ2=PC2+CQ2=PA2+PC2，

故有2PB2=PA2+PC2．