Question

【题目】如图，ABCD中，AB=2cm，AC=5cm，SABCD=8cm2，E点从B点出发，以1cm每秒的速度，在AB延长线上向右运动，同时，点F从D点出发，以同样的速度在CD延长线上向左运动，运动时间为t秒．

（1）在运动过程中，四边形AECF的形状是____；

（2）t＝____时，四边形AECF是矩形；

（3）求当t等于多少时，四边形AECF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）四边形AECF是平行四边形；理由见解析；（2）t=1；（3）t=

【解析】

（1）由平行四边形的性质得出AB=CD=2cm，AB∥CD，由已知条件得出CF=AE，即可得出四边形AECF是平行四边形；

（2）若四边形AECF是矩形，则∠AFC=90°，得出AF⊥CD，由平行四边形的面积得出AF=4cm，在Rt△ACF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

（3）当AE=CE时，四边形AECF是菱形．过C作CG⊥BE于G，则CG=4cm，由勾股定理求出AG，得出GE，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解：（1）四边形AECF是平行四边形；理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=2cm，AB∥CD，

∴CF∥AE，

∵DF=BE，

∴CF=AE，

∴四边形AECF是平行四边形；

故答案为：平行四边形；

（2）t=1时，四边形AECF是矩形；理由如下：

若四边形AECF是矩形，

∴∠AFC=90°，

∴AF⊥CD，

∵SABCD=CDAF=8cm2，

∴AF=4cm，

在Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2，

即42+（t+2）2=52，

解得：t=1，或t=-5（舍去），

∴t=1；故答案为：1；

（3）依题意得：AE平行且等于CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

故AE=CE时，四边形AECF是菱形．

又∵BE=tcm，

∴AE=CE=t+2（cm），

过C作CG⊥BE于G，如图所示：

则CG=4cm

AG==3（cm），

∴GE=t+2-3=t-1（cm），

在△CGE中，由勾股定理得：CG2+GE2=CE2=AE2，

即42+（t-1）2=（t+2）2，

解得：t=，

即t=s时，四边形AECF是菱形．