Question

【题目】如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．
（1）延长MP交CN于点E（如图2）． ①求证：△BPM≌△CPE；
②求证：PM=PN；
（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：①如图2：

∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，

∴∠BMA=∠CNM=90°，

∴BM∥CN，

∴∠MBP=∠ECP，

又∵P为BC边中点，

∴BP=CP，

又∵∠BPM=∠CPE，

∴△BPM≌△CPE，

②∵△BPM≌△CPE，

∴PM=PE

∴PM= ME，

∴在Rt△MNE中，PN= ME，

∴PM=PN．

（2）证明：解：成立，如图3．

证明：延长MP与NC的延长线相交于点E，

∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，

∴∠BMN=∠CNM=90°

∴∠BMN+∠CNM=180°，

∴BM∥CN

∴∠MBP=∠ECP，

又∵P为BC中点，

∴BP=CP，

又∵∠BPM=∠CPE，

在△BPM和△CPE中，

，

∴△BPM≌△CPE，

∴PM=PE，

∴PM= ME，

则Rt△MNE中，PN= ME，

∴PM=PN．

（3）证明：解：如图4，

四边形M′BCN′是矩形，

根据矩形的性质和P为BC边中点，得到△M′BP≌△N′CP，

得PM′=PN′成立．即“四边形MBCN是矩形，则PM=PN成立”．

【解析】（1）①根据平行线的性质证得∠MBP=∠ECP再根据BP=CP，∠BPM=∠CPE即可得到；②由△BPM≌△CPE，得到PM=PE则PM= ME，而在Rt△MNE中，PN= ME，即可得到PM=PN．（2）证明方法与②相同．（3）四边形MBCN是矩形，则PM=PN成立．