Question

【题目】探究：

（1）如图1，在△ABC中，∠A＝40°，△ABC的内角平分线交于点P，求∠P的度数；

（2）如图2，在△ABC中，∠A＝90°，BP、BQ三等分∠ABC，CP、CQ三等分∠ACB，连结PQ，求∠BQP的度数．

Answer 1

【答案】（1）110°；（2）60°

【解析】

（1）根据角平分线定理可知∠PBC+∠PCB =（ ∠ABC+∠ACB ），∠A＝40°已知，根据三角形内角和等于180°，可得∠ABC+∠ACB =140°，所以∠PBC+∠PCB =70°，再次根据三角形内角和可得∠P =110，即为答案.
（2）根据BP、BQ三等分∠ABC，CP、CQ三等分∠ACB可得∠QBC+∠QCB=（ ∠ABC+∠ACB ）= 60°，所以∠BQC=120°，又由BP平分∠QBC， CP平分∠QCB，可得PQ平分∠BQC，所以∠BQP =×∠BQC =60° , 即得出答案.

解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB = 180°

∴∠ABC+∠ACB＝180° －∠A ＝140°

∵BP平分∠ABC， CP平分∠ACB

∴ ∠PBC+∠PCB=（ ∠ABC+∠ACB ）=70°

∵∠P+∠PBC+∠PCB = 180°

∴∠P=180°－（∠PBC+∠PCB）=110°

（2）∵∠A+∠ABC+ ∠ACB = 180°

∴∠ABC+∠ACB＝180° －∠A ＝90°

∵BQ三等分∠ABC，CQ三等分∠ACB

∴ ∠QBC+∠QCB=（ ∠ABC+∠ACB ）=60°

∵∠Q+∠QBC+∠QCB= 180°

∴∠Q=180°－（∠QBC+∠QCB）=120°

∵BP平分∠QBC， CP平分∠QCB

∴PQ平分∠BQC

∴∠BQP =×120°=60°