Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上一点，连接BD，使∠A=2∠1，点E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

∵OD=OB，

∴∠1=∠ODB，

∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，

而∠A=2∠1，

∴∠DOC=∠A，

∵∠A+∠C=90°，

∴∠DOC+∠C=90°，

∴OD⊥DC，

∴AC是⊙O的切线

（2）解：∵∠A=60°，

∴∠C=30°，∠DOC=60°，

在Rt△DOC中，OD=2，

∴OC=2OD=4，BC=OB+OC=6

在Rt△ABC中，AB=BCtan30°=2 ．

【解析】（1）首先依据直角三角形的性质可得到∠A+∠C=90°，然后由OD=OB得∠1=∠ODB，则根据三角形外角性质得∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1=∠A，故此可得到∠DOC+∠C=90°，最后，根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
（2）由直角三角形的性质可得到∠C=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CD=2OD，最后，在Rt△ABC中，根据AB=BCtan30°计算即可.