Question

【题目】在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ x2+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），点P（t，0）是线段OC上的动点，PB⊥PA，且PB= PA，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D；

（1）求抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，点D落在抛物线上；
（3）是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=﹣ x2+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），

∴ ，

解得 ．

故所求的抛物线解析式为：y=﹣ x2+ x+4；

（2）解：∵∠AOP=∠PEB=90°，∠OAP=∠EPB=90°﹣∠APO，

∴△AOP∽△PEB且相似比为 = =2，

∵AO=4，

∴PE=2，OE=OP+PE=t+2，

又∵DE=OA=4，

∴点D的坐标为（t+2，4），

∴点D落在抛物线上时，有﹣ （t+2）2+ （t+2）+4=4，

解得t=3或t=﹣2，

∵t＞0，

∴t=3．

故当t为3时，点D落在抛物线上；

（3）解：存在t，能够使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似，理由如下：

①当0＜t＜8时，如图1．

若△POA∽△ADB，则PO：AD=AO：BD，

即t：（t+2）=4：（4﹣ t），

整理，得t2+16=0，

∴t无解；

若△POA∽△BDA，同理，解得t=﹣2±2 （负值舍去）；

②当t＞8时，如图2．

若△POA∽△ADB，则PO：AD=AO：BD，

即t：（t+2）=4：（ t﹣4），

解得t=8±4 （负值舍去）；

若△POA∽△BDA，同理，解得t无解．

综上可知，当t=﹣2+2 或8+4 时，以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似．

【解析】先将A、C两点的坐标代入抛物线y=﹣ x2+bx+c，利用待定系数法求出b、c的值即可；（2）先判断出△AOP∽△PEB得出其相似比，进而求出D点的坐标，代入y=﹣ x2+ x+4即可求出t的值；（3）存在t，能够使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似，①当0＜t＜8时，若△POA∽△ADB，则PO：AD=AO：BD，从而t：（t+2）=4：（4﹣ t）无解，若△POA∽△BDA，同理，解得t=﹣2±2 （负值舍去），②当t＞8时若△POA∽△ADB，则PO：AD=AO：BD，即t：（t+2）=4：（ t﹣4），解得t=8±4 （负值舍去），若△POA∽△BDA，同理，解得t无解．综上所述得出结论。