【题目】如图，矩形OABC中,点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上，OA=4,OC=2.点P（m,0）是射线OA上的动点，E为PC中点，作□OEAF，EF交OA于G，

（1）写出点E,F的坐标（用含m的代数式表示）：E(_____,_____),F(______,_____).

（2）当线段EF取最小值时，m的值为______;此时□OEAF的周长为______.

（3）①当□OEAF是矩形时，求m的值.

②将△OEF沿EF翻折到△O′EF，若△O′EF与△AEF重叠部分的面积为1时，m的值为 .

参考答案：

【答案】（1）（，1），（4-，-1）；（2）4；4；（3）①m=4±2，②2或6.

【解析】

（1）根据中点坐标公式和对称性，分别求出点E、F的坐标.

（2）由题意当EF⊥OA时，线段EF有最小值.由勾股定理可得m的值及四边形OEAF的周长.

（3）①分情况讨论：当点P在线段OA上时，如图1，利用勾股定理求出HG，就可得到OH的长，然后求出OP的长；当点P在OA延长线上时， 先求出OH，然后求出OP的长即可；②分两种情况：当点P在线段OA上时，先证△AEF为直角三角形，然后用勾股定理列方程求出m的值；当点P在OA延长线上时，先证△AFE为直角三角形，然后用勾股定理列方程求出m的值.

（1）∵C(0,2),P(m,0),由中点坐标公式，得点E的坐标为(,1)，由F和E关于点G对称，可得F的坐标为(4-,-1).

故答案为：(,1)，(4-,-1).

（2）当EF⊥OA时，此时EG最小,则EF最小.此时点P与A重合，m=4,易知，四边形OEAF是菱形， 由勾股定理得OE=，四边形OEAF的周长为4，

故答案为：4，4

（3）作EH⊥x轴于点H,

当点P在线段OA上时，如图1，

Rt△EHG中，EH=1,EG=OG=2,则HG=

∴OH=2-

∴m=OP=4-2

当点P在OA延长线上时,如图2，

∴OH=2+

∴m=OP=4+2

综上所述，m=4 ±2

②分两种情况：

Ⅰ：当P在线段OA上时，如图，

∵OEAF是平行四边形，

∴AG=OA=2,

又E ()

∴

∵折叠后与重合

∴

又OF∥AE,

∴

∴

∴EH=FH

又G为EF中点

∴HG⊥EF

∵

∴

∴

∴HE=AH

∴HE=AH=HF

∴△AEF为直角三角形，∠AFE=90°

∴∠OEG=90°

∴+=

∴+++=

解得=2

Ⅱ、当P在OA的延长线上时，如图

同理可证，EH=FH=AH,

∴∠AEF=90°

∴△AEG为直角三角形,

∴+=

∴+++=

解得=6

综上所述，m=2或6

故答案为：m=2或6

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