Question

【题目】如图，将□ABCD的边DC延长至点E,使得CE=DC，连结AE,AC,BE,且AE交BC于点F.

（1）求证：AE与BC互相平分；

（2）若∠AFC=2∠D，AD=10.

①求证：四边形ABEC是矩形；

②连结FD,则线段FD的长度的取值范围为____.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②5<FD<15.

【解析】

（1）利用平行四边形的性质，易证AB∥CD，AB=CD，再由CE=CD，可证AB=CE，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABEC是平行四边形，然后利用平行四边形的对角线互相平分，可证得结论.

（2）①利用平行四边形的对角相等，可证∠D=∠ABC，再利用三角形外角的性质及∠AFC=2∠D，易证∠AFC=2∠ABC=∠ABC+∠BAF，就可推出∠ABC=∠BAF，利用等角对等边，可知FA=FB ，就可证得平行四边形ABEC的对角线相等，即可证得结论；②由平行四边形的性质和矩形的性质可求出AF的长，再利用三角形的三边关系定理就可求出DF的取值范围.

（1）证明：∵平行四边形ABCD

∴AB∥CD,AB=CD,CD=CE

∴AB∥CE,AB=CE

∴得□ABEC

∴AE与BC互相平分

（2）①∵∠D=∠ABC，∠AFC=2∠D

∴∠AFC=2∠ABC

∵∠ABC+∠BAF=∠AFC

∴ ∠ABC=∠BAF

∴ FA=FB

∴ AE=BC

∴四边形ABEC是矩形.

②连接DF

∵平行四边形ABCD

∴BC=AD=10

∵矩形ABEC

∴AF=BF=10÷2=5

在△AFD中，AD-AF＜DF＜AD+AF

∴10-5＜DF＜10+5

即5＜DF＜15