Question

【题目】根据要求回答问题：
（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=90°，B，C，D在一条直线上．

填空：线段AD，BE之间的关系为
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，请判断AD，BE的关系，并说明理由．

（3）解决问题
如图3，线段PA=3，点B是线段PA外一点，PB=5，连接AB，将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，随着点B的位置的变化，直接写出PC的范围．

Answer 1

【答案】
（1）AD=BE,AD⊥BE
（2）解：结论：AD=BE，AD⊥BE．

理由：如图2中，设AD交BE于H，AD交BC于O．

∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，

∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，

∴ACD=∠BCE，

在Rt△ACD和Rt△BCE中

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，

∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，

∴∠BOH+∠OBH=90°，

∴∠OHB=90°，

∴AD⊥BE，

∴AD=BE，AD⊥BE．

（3）解：如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，

∴PC=BE，

图3﹣1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB﹣PE=5﹣3 ，

图3﹣2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+3 ，

∴5﹣3 ≤BE≤5+3 ，

即5﹣3 ≤PC≤5+3 ．

【解析】解：（1）结论：AD=BE，AD⊥BE．

理由：如图1中，

∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，

∴AC=BC，CE=CD，

∠ACB=∠ACD=90°，

在Rt△ACD和Rt△BCE中

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠EBC=∠CAD

延长BE交AD于点F，

∵BC⊥AD，

∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF，

∴∠EAD+∠AEF=90°，

∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．

∴AD=BE，AD⊥BE．

所以答案是AD=BE，AD⊥BE．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用全等三角形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等．