Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+5与坐标轴的交点B，C．已知D（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）M，N分别是BC，x轴上的动点，求△DMN周长最小时点M，N的坐标，并写出周长的最小值；
（3）连接BD，设M是平面上一点，将△BOD绕点M顺时针旋转90°后得到△B1O1D1 ， 点B，O，D的对应点分别是B1 ， O1 ， D1 ， 若△B1O1D1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点O1的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意C（0，5），B（5，0），

把C（0，5），B（5，0）的坐标代入y=﹣x2+bx+c得到 ，

解得 ，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5．

（2）解：如图1中，作点D关于BC的对称点D′，点D关于x轴的对称点D″，连接D′D″交BC于M，交x轴于N，连接DM，DN．此时△DMN的周长最小．

易知D′（2，5），D″（0，﹣3），

设直线D′D″的解析式为y=kx+b，则有 ，

解得 ，

∴y=4x﹣3，

∴N（ ，0），

由 ，解得 ，

∴M（ ， ），

∴△DMN周长最小时点M（ ， ），N（ ，0），

△DMN的周长的最小值=D′D″= =2 ．

（3）解：①如图2中，当O′和D′在抛物线上时，易知点O′与点C重合，CD′=OD=3，此时O′（0，5）．

②如图3中，点B′、D′在抛物线上时，设点B′（x，﹣x2+4x+5）的横坐标为x+1，则点D′的坐标为（x+3，﹣x2+4x+10）．

把D′坐标代入y=﹣x2+4x+5中，得到﹣x2+4x+10=﹣（x+3）2+4（x+3）+5，

解得x=﹣ ，

∴B′（﹣ ， ），

∴O′（﹣ ， ），

综上所述，满足条件的点O′的坐标为（0，5）或（﹣ ， ）．

【解析】（1）求出B、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图1中，作点D关于BC的对称点D′，点D关于x轴的对称点D″，连接D′D″交BC于M，交x轴于N，连接DM，DN．此时△DMN的周长最小．求出D′、D″的坐标，直线D′D″的解析式即可解决问题；（3）分两种情形①如图2中，当O′和D′在抛物线上时，易知点O′与点C重合，CD′=OD=3，此时O′（0，5）．②如图3中，点B′、D′在抛物线上时，设点B′（x，﹣x2+4x+5）的横坐标为x+1，则点D′的坐标为（x+3，﹣x2+4x+10）．把D′的坐标代入抛物线的解析式，求出x即可解决问题；
【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．