Question

【题目】已知:的两条高交于点，点分别是，的中点，连接．

求证:垂直平分；

若．判断以为顶点的四边形的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形MEND是正方形，见解析.

【解析】

（1）连接EM，EN，DM，DN，根据直角三角形斜边上中线的性质证明ME＝MD，NE＝ND即可解决问题；

（2）结论：四边形MEND是正方形，连接EM，EN，DM，DN，首先证明△ADF≌△BDC，得到AF＝BC，进而得到DM＝DN＝EM＝EN，然后求出∠NDM＝90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明．

（1）证明：如图1，连接EM，EN，DM，DN．

∵BD，CE是△ABC的高，

∴BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BDA＝∠BDC＝∠CEB＝∠CEA＝90°，

∵在Rt△AEF中，M是AF的中点，

∴EM＝AF，

同理，DM＝AF，EN＝BC，DN＝BC，

∴EM＝DM，EN＝DN，

∴点M，N在ED的垂直平分线上，

∴MN垂直平分ED；

（2）结论：四边形MEND是正方形．

证明：如图2，连接EM，EN，DM，DN．

∵∠EBD＝∠DCE＝45°，∠BDA＝∠CDF＝90°，

∴∠BAD＝∠ABD＝45°，∠DFC＝∠DCF＝45°，

∴AD＝BD，DF＝DC，

在△ADF和△BDC中，，

∴△ADF≌△BDC（SAS），

∴AF＝BC，∠1＝∠2，

∵DM＝AF＝AM，DN＝BC＝BN，

∴DM＝DN，∠1＝∠3，∠2＝∠4，

∴∠3＝∠4，

由（1）知EM＝DM，EN＝DN，

∴DM＝DN＝EM＝EN，

∴四边形MEND是菱形，

∵∠3＋∠MDF＝∠ADF＝90°，

∴∠4＋∠MDF＝∠NDM＝90°，

∴四边形MEND是正方形．