Question

【题目】(本题10分) 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F,连结OC,AC.

（1）求证:AC平分∠DAO.
（2）若∠DAO=105°，∠E=30°.
①求∠OCE的度数.
②若⊙O的半径为2 ，求线段EF的长.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直线与⊙O相切，

∴OC⊥CD；

又∵AD⊥CD,

∴AD//OC,

∴∠DAC=∠OCA;

又∵OC=OA,

∴∠OAC=∠OCA,

∴∠DAC=∠OAC;

∴AC平分∠DAO.

（2）

解：①∵AD//OC，∠DAO=105°,

∴∠EOC=∠DAO=105°;

∵∠E=30°,

∴∠OCE=45°.

②作OG⊥CE于点G,可得FG=CG,

∵OC=2,∠OCE=45°.

∴CG=OG=2,

∴FG=2;

∵在RT△OGE中，∠E=30°，

∴GE=2,

∴EF=GE-FG=2-2.

【解析】（1）利用了切线的性质，平行线的判定和性质，等边对等角，角平分线的判定即可得证。
（2）①根据（1）得出的AD//OC，从而得出同位角相等，再利用三角形的内角和定理即可求出答案；②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG,根据等边对等角得出CG=OG=FG=2,在根据勾股定理得出GE，从而求出EF=GE-FG.
【考点精析】认真审题，首先需要了解平行线的判定与性质(由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质)，还要掌握三角形的内角和外角(三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)的相关知识才是答题的关键．