Question

【题目】已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC＝60°，点B的坐标是（0，8），点P从点C开始以每秒个单位长度的速度沿线段CB向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒3个单位长度的速度沿射线OA方向移动，点P运动到点B时，两点停止运动．直线PQ交OB于点D，运动时间为t秒．

（1）直接写出点A的坐标；

（2）求t为何值时，直线PQ与菱形ABCO的边互相垂直；

（3）如果将题中的条件变为点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒a（1≤a≤3）单位，设运动时间为t（0<t≤8），其它条件不变．当a为何值时，以O，Q，D为顶点的三角形与△OAB相似？请给出你的结论，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）A（4，4）．（2）t=2，t=8；（3）3.

【解析】

试题分析：（1）连接AC交OB于点M，根据菱形的性质，在RT△AMO中，求出AM、OM即可．

（2）分两种情形①如图1中，当PQ⊥OA时，过C作CH⊥OA于H，②如图2中，当PQ⊥AB时，过P作PN∥AB交射线OA于N，分别利用直角三角形30度性质列出方程即可解决．

（3）当a=1，a=3时，以O，Q，D为顶点的三角形与△OAB相似，①当a=1，△ODQ∽△OBA，②a=3时，△ODQ∽△OAB分别根据相似三角形性质列出方程即可解决．

试题解析：（1）连接AC交OB于点M，

∵∠AOC=60°，四边形ABCO是菱形，

∴AC垂直平分OB，OM=OB=4，∠AOM=30°，

∴AM=4，

∴点D坐标为A（4，4）．

（2）①如图1中，当PQ⊥OA时，过C作CH⊥OA于H，

∵PQ∥CH，PC∥QH，

∴四边形PCHQ是平行四边形，

∵∠CHQ=90°，

∴四边形PCHQ是矩形，

∴PC=QH=t，OQ=3t，∠OCH=30°，OH=2t=OC=4，

∴t=2．

②如图2中，当PQ⊥AB时，过P作PN∥AB交射线OA于N，

由菱形ABCO得，PN=AB=8，

∴OQ=3t，CP=t，∠PQN=30°，NQ=2t=16，

∴t=8，

即当t=2，t=8时，直线PQ与菱形ABCO的边互相垂直．

（3）当a=1，a=3时，以O，Q，D为顶点的三角形与△OAB相似，

①当a=1，△ODQ∽△OBA，

证明：由△ODQ∽△OBA，可得∠ODQ=∠OBA，此时PQ∥AB，

∴四边形PCOQ为平行四边形，

∴CP=OQ，即at=t，（0＜t≤8）

∴a=1时，△ODQ∽△OBA，

②a=3时，△ODQ∽△OAB

当P与B重合时，D点也与B重合，此时t=8，

由△ODQ∽△OAB，得

，

∵OD=OB，

∴OB2=OAOQ，

即（8）2=8×8a，

∴a=3，

∴a=3，△ODQ∽△OAB．