Question

【题目】已知： 和矩形如图①摆放（点与点重合），点， 在同一直线上， ， ， .如图②，从图①的位置出发，沿方向匀速运动，速度为1 ， 与交于点，与BD交于点K；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为1 .过点作，垂足为，交于点，连接，当点停止运动时， 也停止运动.设运动事件为.解答下列问题：

（1）当为何值时， ？

（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（3）在运动过程中，

①当t为 秒时，以PQ为直径的圆与PE相切，

②当t为 秒时，以PQ的中点为圆心，以 cm为半径的圆与BD和BC同时相切.

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=2；（3）①t=，②t=4，r=2 .

【解析】试题分析：（1）如图1中，当PQ∥BD时， ，可得，解方程即可；

（2）假设存在，如图2中，当0＜t＜6时，S五边形AFPQM＝＝S△ABF＋S矩形ABCD－S△CPQ－S△MDQ，由此计算出五边形AFPQM的面积．根据题意列出方程即可解决问题；

（3）①当以PQ为直径的圆与PE相切时，PQ⊥PE，可证得△PFE∽△QCP，得到，然后代入含t的式子，列出方程即可求出t的值；

②设PQ的中点为O，连接BO并延长，交CD与点J，过O作OI⊥BC，过J作JK⊥BD．由过点O的圆与BC、BD都相切可证得BJ平分∠DBC，根据角平分线的性质可得JC＝JK，BK＝BC＝8，DK＝BD－BK＝2，JC＝JK＝x，在Rt△JKD中，由勾股定理求出JC的值，由O是PQ的中点，根据三角形中位线的性质用t表示OI，PI，进而表示出BI，然后由△BOI∽△BJC得，代入数据即可求出t的值，进而求出圆的半径．

试题解析：

解：（1）若PQ∥BD，则△CPQ∽△CBD，

∴，即，

解得：t＝；

（2）由∠MQD＋∠CDB＝∠CBD＋∠CDB＝90°，

可得∠MQD＝∠CBD.

又∠MDQ＝∠C＝90°，

∴△MDQ∽△DCB，

∴，

即，

∴MD＝，

则S五边形AFPQM＝＝S△ABF＋S矩形ABCD－S△CPQ－S△MDQ

＝AB×BF＋AB×BC－PC×CQ－MD×DQ

＝×6×(8－t)＋6×8－ (8－t)×t－××(6－t)

＝（0＜t＜6）．

假使存在t，使S五边形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8，

则S五边形AFPQM＝S矩形ABCD＝54，

即＝54，

整理得t2－20t＋36＝0，

解得t1＝2，t2＝18＞6（舍去），

答：当t＝2，S五边形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8；

（3）①当以PQ为直径的圆与PE相切时，PQ⊥PE，

∴∠EPF＋∠QPC＝90°，

又∵∠E＋∠EPF＝90°，

∴∠E＝∠QPC，

∵∠EFP＝∠C＝90°，

∴△PFE∽△QCP，

∴，

∴，

解得t＝，

即t＝秒时，以PQ为直径的圆与PE相切；

②设PQ的中点为O，连接BO并延长，交CD与点J，过O作OI⊥BC，过J作JK⊥BD，

∵过点O的圆与BC、BD都相切，

∴BJ平分∠DBC，

∵∠C＝90°，JK⊥BD，

∴JC＝JK，BK＝BC＝8，

DK＝BD－BK＝10－8＝2，

设JC＝JK＝x，则JD＝6－x，

在Rt△JKD中，由勾股定理得：x2＋22＝(6－x)2，

解得x＝，

CP＝BC－BP＝8－t，

∵O是PQ的中点，OI⊥BC，

∴OI＝CQ＝t，PI＝CI＝ (8－t)＝4－t，

∴BI＝BP＋PI＝t＋4－t＝4＋t，

∵OI⊥BC，∠C＝90°，

∴OI∥JC，

∴△BOI∽△BJC，

∴，

即，

解得t＝4，

此时圆的半径为OI＝t＝2．

故答案为：4，2．