Question

【题目】如图,点D为⊙O上的一点,点C在直径BA的延长线上,并且∠CDA=∠CBD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）过点B作O的切线,交CD的延长线于点E,若BC=12,tan∠CDA=，求BE的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析;(2) BE的长为5.

【解析】试题分析： （1）如图，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明CD⊥OA即可.（2）通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长度即可.

试题解析：

（1）证明：连OD，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，

又∵∠CDA=∠CBD，而∠CBD=∠1，∴∠1=∠CDA，∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵EB为⊙O的切线，∴ED=EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，

∴∠ABD=∠OEB，∴∠CDA=∠OEB．而tan∠CDA=，∴tan∠OEB==，

∵Rt△CDO∽Rt△CBE，（1）证明：连OD，OE，如图，

∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，又∵∠CDA=∠CBD，而∠CBD=∠1，∴∠1=∠CDA，

∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切线；∴，∴CD=×12=8，

在Rt△CBE中，设BE=x，∴（x+8）2=x2+122，解得x=5．即BE的长为5．