Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB=15°，OE=2 ．
（1）求⊙O的半径；
（2）将△OBD绕O点旋转，使弦BD的一个端点与弦AC的一个端点重合，则弦BD与弦AC的夹角为 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，

∴弧BC=弧BD，

∴∠BDC= ∠BOD，

而∠CDB=15°，

∴∠BOD=2×15°=30°，

在Rt△ODE中，∠DOE=30°，OE=2 ，

∴OE= DE，OD=2DE，

∴DE= =2，

∴OD=4，

即⊙O的半径为4

（2）60°或90°
【解析】解： （2）有4种情况：如图：
①如图1所示：∵OA=OB，∠AOB=30°，
∴∠OAB=∠OBA=75°，
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴弧BC=弧BD，
∴∠CAB= ∠BOD=15°，
∴∠CAB=∠BAO+∠CAB=15°+75°=90°；
②如图2所示，∠CAD=75°﹣15°=60°；
③如图3所示：∠ACB=90°；
④如图4所示：∠ACB=60°；
所以答案是：60°或90°．
【考点精析】通过灵活运用勾股定理的概念和垂径定理，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧即可以解答此题．