Question

【题目】如图，D为Rt△ABC斜边AB上一点，以CD为直径的圆分别交△ABC三边于E、F、G三点，连接FE，FG．
（1）求证：∠EFG=∠B；
（2）若AC=2BC=4 ，D为AE的中点，求FG的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接EC，如图1所示．

∵CD为直径，

∴∠AEC=90°，

∴∠BCE+∠B=90°．

∵∠BCE+∠ECA=90°，

∴∠B=∠ECA．

又∵∠ECA=∠EFG，

∴∠EFG=∠B

（2）解：在Rt△BCA中，AC=4 ，BC=2 ，

∴AB= =10．

∵BCAC=ABCE，

∴CE=4．

∵tan∠A= = = ，

∴AE=2CE=8．

在Rt△DCG中，CE=4，ED= AE=4，

∴CD= =4 ．

连接FD、DG，如图2所示．

∵CD是直径，

∴∠CFD=∠CGD=90°，

又∵∠FCG=90°，

∴四边形FCGD为矩形，

∴FG=CD=4 ．

【解析】（1）连接EC，则∠AEC=90°，由同角的余角相等即可得出∠B=∠ECA，再根据圆周角定理即可得出∠ECA=∠EFG，由此即可证出∠EFG=∠B；（2）由AC、BC的长度利用勾股定理即可求出AB的长度，结合面积法即可得出CE的长度，由正切即可得出AE的长度，再利用勾股定理可求出CD的长度，连接FD、DG，由矩形的判定定理即可证出四边形FCGD为矩形，利用矩形的性质即可得出FG=CD，此题得解．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和圆周角定理的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能正确解答此题．