Question

【题目】如图，中，，，点在直线上，是等腰直角三角形，，，连接．

（1）当点在线段上时，如图1，求证：；

（2）当点在线段延长线上时，如图2，求证：

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）利用△ABC是等腰直角三角形，易得AB＝AC，∠BAC＝90°，即有∠BAD＋∠DAC＝90°，同理可得AD＝AE，∠DAC＋∠CAE＝90°，从而可证∠BAD＝∠CAE，从而利用SAS可证△BAD≌△CAE，那么BD＝CE，于是BC＝CE＋DC，再利用勾股定理可知BC＝

AC，进而可证DC＋CE＝AC；

（2）同（1）可证△BAD≌△CAE，那么BD＝CE，而BC＋BD＝CD，易证AC＝CDCE．

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝90°，即∠BAD＋∠DAC＝90°，

同理有AD＝AE，∠DAC＋∠CAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE，

∴BC＝CE＋DC，

在Rt△ABC中，BC＝AC，

∴DC＋CE＝AC；

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝90°，即∠BAE＋∠EAC＝90°，

同理有AD＝AE，∠DAB＋∠BAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE，

又∵BC＋BD＝CD，

∴BC＝CDCE，即AC＝CDCE；