Question

【题目】已知二次函数y＝－x2＋ax＋b的图象与y轴交于点A(0，－2)，与x轴交于点B(1，0)和点C，D(m，0)(m＞2)是x轴上一点．

(1)求二次函数的解析式；

(2)点E是第四象限内的一点，若以点D为直角顶点的Rt△CDE与以A，O，B为顶点的三角形相似，求点E坐标(用含m的代数式表示)；

(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形BCEF为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）存在，

【解析】试题分析：（1）将点A（1，0），B（2，0），C（0，-2）代入二次函数y=ax2+bx+c中，列方程组求a、b、c即可；
（2）因为D、O分别为两个直角三角形的顶点，可分为△EDB∽△AOC，△BDE∽△AOC两种情况，利用相似比求ED，确定E点坐标；
（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，EF=AB=1，点F的横坐标为m-1，分为①当点E1的坐标为（m， ）时，点F1的坐标为（m-1， ），②当点E2的坐标为（m，4-2m）时，点F2的坐标为（m-1，4-2m），两种情况，分别代入抛物线解析式求m的值，确定F点的坐标．

试题解析：(1)根据题意，得，解得，a＝3，b＝－2

．

（2）当y＝0时，有－x2＋3x－2＝0，解得，x1＝1，x2＝2，∴OC＝2.

由题意得AO＝2，BO＝1，CD＝m－2.

△CDE∽△AOC当时，得AO∶CD＝BO∶DE，

∴　2∶(m－2)＝1∶DE.　∴DE＝.

∵点在第四象限，∴E1（m， ）．

当△DEC∽△AOC当时，得AO∶ED＝BO∶CD，

∴2∶DE＝1∶(m－2).　∴DE＝2m－4.

∵点在第四象限，∴E2（m，4-2m）.

（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形BCEF为平行四边形，则EF＝BC＝1，

点F的横坐标为m－1，

当点的坐标为时，点的坐标为

∵点在抛物线的图象上，

∴，

∴，

∴，

∴（舍去），

∴.

当点的坐标为时，点的坐标为.

∵点在抛物线的图象上，

∴，

∴，

∴，∴（舍去），，

∴，

∴使得四边形BCEF为平行四边形的点F的坐标为 或.