Question

【题目】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．

（1）试判断四边形ADCF的形状，并证明；

（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明．

Answer 1

【答案】（1）四边形CDAF是平行四边形，理由详见解析；

（2）四边形ADCF是菱形，证明详见解析．

【解析】

（1）由E是AD的中点，过点A作AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，然后证得AF=BD=CD，即可证得四边形ADCF是平行四边形；

（2）由AB⊥AC，AD是BC边上的中线，可得AD=CD=BC，然后由四边形ADCF是平行四边形，证得四边形ADCF是菱形．

（1）解：四边形CDAF是平行四边形，理由如下：

∵E是AD的中点，

∴AE=ED，

∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE，

在△AFE和△DBE中，

∴△AFE≌△DBE（AAS），

∴AF=BD，

∵AD是BC边中线，

∴CD=BD，

∴AF=CD，

∴四边形CDAF是平行四边形；

（2）四边形ADCF是菱形，

∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，

∴AD=BC=DC，

∵四边形ADCF是平行四边形，

∴平行四边形ADCF是菱形．