Question

【题目】如图，直线y=x上有点A1，A2，A3，…An+1，且OA1=1，A1A2=2，A2A3=4，AnAn+1=2n分别过点A1，A2，A3，…An+1作直线y=x的垂线，交y轴于点B1，B2，B3，…Bn+1，依次连接A1B2，A2B3，A3B4，…AnBn+1，得到△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…，△AnBnBn+1，则△AnBnBn+1的面积为________．（用含有正整数n的式子表示）

Answer 1

【答案】（22n﹣1﹣2n﹣1）

【解析】∵直线OAn的解析式y=x，∴∠AnOBn=60°．

∵OA1=1，A1A2=2，A2A3=4，AnAn+1=2n，∴A1B1=，A2B2=，A3B3=．

设S=1+2+4+…+2n﹣1，则2S=2+4+8+…+2n，

∴S=2S﹣S=（2+4+8+…+2n）﹣（1+2+4+…+2n﹣1）=2n﹣1，

∴AnBn=（2n﹣1），

∴ =AnBnAnAn+1=×（2n﹣1）×2n=，

故答案为： ．