Question

【题目】如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设是线段上的动点，作交于，连接，当的面积是面积的2倍时，求点的坐标；

（3）若为抛物线上、两点间的一个动点，过作轴的平行线，交于，当点运动到什么位置时，线段的值最大，并求此时点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）当点的坐标为时，线段取最大值．

【解析】

（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，求出系数的值，即可求得抛物线的解析式；

（2）△CEF和△BEF同高，则面积比等于底边比，由此可得出CF=2BF；易证得△BEF∽△BAC，根据相似三角形的性质，即可求得BE、AB的比例关系，由此可求出E点坐标；

（3）PQ的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点横坐标为a，用a表示出P、Q的纵坐标，然后可得出PQ的长与a的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PQ最大时a的值，也就能求出此时P点的坐标．

解：（1）将点，坐标代入抛物线解析式得：

，

解得：，

抛物线的解析式为；

（2）如图，，

，则．

，

∴，

，

∵、，

则，

∴．

点的横坐标为，

点的坐标为；

（3）∵抛物线的解析式为，

当x=0时，y=2，则，

设直线AC的解析式为：，分别代入、得：

，解得：，

∴直线的解析式为．

设点的坐标为，

点是过点作轴的平行线与直线的交点，则点的坐标为．则有：

，

即当时，线段取最大值，

此时点的坐标为．