Question

【题目】如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将 ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将 CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA.则以下结论中正确的个数有（ ）.

① CMP∽ BPA；
②四边形AMCB的面积最大值为10；
③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；
④线段AM的最小值为2 ；
⑤当 ABP≌ AND时，BP=4 -4.
A.①②③
B.②③⑤
C.①④⑤
D.①②⑤

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，
∵∠CPN+∠NPB=180°，
∴2∠NPM+2∠APE=180°，
∴∠MPN+∠APE=90°，
∴∠APM=90°，
∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，
∴△CMP∽△BPA．故①正确，
设PB=x，则CP=4-x，
∵△CMP∽△BPA，
∴= ，
∴CM=x（4-x），
∴S四边形AMCB=[4+x（4-x）]×4=-x2+2x+8=-（x-2）2+10，
∴x=2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，
易证得△ADN≌△AEN，当PB=PC=PE=2时，设ND=NE=y，
在RT△PCN中，（y+2）2=（4-y）2+22解得y= ，
∴NE≠EP，故③错误，
作MG⊥AB于G，
∵AM== ，
∴AG最小时AM最小，
∵AG=AB-BG=AB-CM=4-x（4-x）=（x-2）2+3，
∴x=2时，AG最小值=3，
∴AM的最小值==5，故④错误．
∵△ABP≌△ADN时，
∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，
∴∠KPA=∠KAP=22.5°
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，
∴∠BPK=∠BKP=45°，
∴PB=BK=z，AK=PK=z，
∴z+z=4，
∴z=4-4，
∴PB=4-4，故⑤正确．
故正确的为①②⑤．
故选D.
【考点精析】关于本题考查的相似三角形的判定与性质，需要了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．