Question

【题目】问题探究

（1）如图1，请在半径为的半圆内（含弧和直径）画出面积最大的三角形，并求出这个三角形的面积；

（2）如图2，请在半径为的内（含弧）画出面积最大的矩形，并求出这个矩形的面积；

问题解决

（3）如图3，是一块草坪，其中，，，某开发商现准备再征一块地，把扩充为四边形，使，是否存在面积最大的四边形？若存在，求出四边形的最大面积；若不存在，请说明理由．（结果保留根号）

Answer 1

【答案】（1）图形见解析；；（2）图形见解析；矩形；（3）存在，最大面积为．

【解析】

（1）过圆心O作直径的垂线得到最大的，求面积即可；

（2）作两条互相垂直的直径，作对角线，连成的四边形即为最大的矩形，求其面积即可；

（3）如图3，过A作AE⊥BC，交CB的延长线于E，分别求出EC、AE、AC的长，求的面积，在中，AC是定值，∠D=30°是定值，画的外接圆O，由图3可知：当D点与AC的距离最大时，的面积最大，设AC的中垂线交⊙O于，交AC于F，则即为D点与AC的最大距离，求出，代入面积公式求面积即可．

解：（1）如图1，过点作，交于点，连接、，则即为所求．

（2）如图2，过点作的任一直径，再过点作，交于点、，连接、、、，则矩形即为所求．

矩形；

（3）存在面积最大的四边形，理由如下：

如图3，过点作交的延长线于点，

，

．

，，

，．

．

，

．

在中，是定值，是定值，

如图3，、、三点在同一上（作、的中垂线，交点即为圆心），

的长度一定，

当点与的距离最大时，的面积最大．

设的中垂线交于点，交于点，

则即为点与的最大距离．

，

连接、，则。

是等边三角形．

，．

∴．

，

在中，，

，

，

．

即四边形的最大面积为．