Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2﹣10ax+16a（a≠0）交x轴于A、B两点，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点H，且AB=2DH．

（1）求a的值；

（2）点P是对称轴右侧抛物线上的点，连接PD，PQ⊥x轴于点Q，点N是线段PQ上的点，过点N作NF⊥DH于点F，NE⊥PD交直线DH于点E，求线段EF的长；

（3）在（2）的条件下，连接DN、DQ、PB，当DN=2QN（NQ＞3），2∠NDQ+∠DNQ=90°时，作NC⊥PB交对称轴左侧的抛物线于点C，求点C的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）点C（﹣1，9）．．

【解析】试题分析：（1）根据y=ax2-10ax+16a可以求得当y=0时，x的值，从而可以求得点A、B的坐标，由抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点H，且AB=2DH，从而可以求得a的值；

（2）根据已知条件作出相应的图形，然后根据题意题目中的数量关系，通过灵活变形可以求得EF的长；

（3）根据题意可以画出相应的图形，然后根据题目中的关系，利用三角形相似，灵活变化可以求得点C的坐标．

试题解析：（1）令y=0，得x=2或x=8，∴点A（2，0），B（8，0），∴AB=6，

∵AB=2DH，∴DH=3，

∵OH=2+，∴D（5，﹣3），∴﹣3=a×52﹣10a×5+16a，得a=；

（2）如图1，过点D作PQ的垂线，交PQ的延长线于点M，

∵NE⊥PD，∴∠DPN+∠PNE=90°，∵NF⊥DE，∴∠FEN+∠FNE=90°，

又∵DH⊥x轴，PQ⊥x轴，∴DE∥PQ，∴∠FEN=∠PNE，∴∠DPM=∠ENF，∴△EFN∽△DMP，

∴，设点P（t， ），则FN=DM=t﹣5，PM=+3，代入解得EF=3；

（3）如图2，作QG⊥DN于点G，∵DF∥PQ，∴∠FDN=∠DNQ，∵2∠NDQ+∠DNQ=90°，

∴2∠NDQ+∠FDN=90°，∵∠FDM=90°，∴∠NDM=2∠NDQ，∴∠NDQ=∠MDQ，∴QG=QM=DH=3，

设QN=m，则DN=2m，∵sin∠DNM=，sin∠QNG=，sin∠DNM=sin∠QNG，

∴，得DM=6=DG，∴OQ=5+6=11，

∴点P的纵坐标是： =9，∴点P（11，9），

∵NG=2m﹣6，在Rt△NGQ中，QG2+NG2=QN2，

∴32+（2m﹣6）2=m2，得，m=3（舍）或m=5，

设C（n， ），作CK⊥x轴于点K，作NF⊥CK于点K，则CT=，NT=11﹣n，

∵P（11，9），则BQ=11﹣8=3，PQ=9，

∵CN⊥PB，PQ∥CK，PQ⊥x轴， ∴△CTN∽△BQP，

∴， 即， 解得，n=﹣1或n=10（舍去），

∴点C（﹣1，9）．